Manuale di Relatività Ristretta by Maurizio Gasperini

autore:Maurizio Gasperini [Gasperini, Maurizio]
La lingua: ita
Format: epub
pubblicato: 2012-04-23T18:59:07+00:00

(6.21), si può riscrivere in una forma che è equivalente per la dinamica della particella libera, ma che risulta più conveniente per una trattazione canonica covariante.

A tal scopo introduciamo un campo ausiliario V (τ ) che gioca il ruolo di moltiplicatore di Lagrange, e che ha dimensioni dell’inverso di una massa.

Un’azione che risulta equivalente alla (6.22) si può allora definire come segue: τ2

S =

L(x, ˙

x)dτ

τ1 τ2

≡ 1

˙

xμ ˙xμ − m2c2V dτ.

(6.29)

2 τ

V

1

La condizione che questa azione risulti stazionaria rispetto alla variazione di V impone infatti il vincolo

∂L = 0,

(6.30)

∂V

ossia

− ˙xμ ˙xμ = m2c2V 2.

(6.31)

Risolvendo per V (τ ), e sostituendo nell’azione (6.29), otteniamo 1

τ2

˙

xμ ˙xμ

S =

mc

√

− − ˙xμ ˙xμ dτ

2

τ

− ˙x

1

ν ˙

xν

τ2

= −mc

− ˙xμ ˙xμdτ,

(6.32)

τ1

che coincide esattamente con l’azione definita dalle equazioni (6.22), (6.23).

L’azione (6.29) – detta “azione di Polyakov” – fornisce un impulso canonico pμ = ˙xμ/V , che si riduce in generale all’impulso (6.24) dopo aver sfruttato il vincolo (6.31). Per una particella massiva, in particolare, la scelta del gauge 6.2 Relazioni tra impulso, velocità ed energia 93

temporale che identifica τ col tempo proprio fissa il campo ausiliario al valore costante V = m−1 (si veda l’Eq. (6.31)), e porta alla precedente equazione del moto (6.26).

Al contrario dell’azione (6.22), però, l’azione di Polyakov è ben definita anche nel caso limite di particelle con massa nulla. In questo limite il secondo termine dell’azione (6.29) scompare, e la variazione rispetto a V fornisce il vincolo ˙

xμ ˙xμ = 0, che implica traiettorie spazio-temporali di tipo luce e un quadrivettore impulso a modulo quadro nullo, come vedremo più in dettaglio anche nella sezione seguente.

6.2 Relazioni tra impulso, velocità ed energia È opportuno, a questo punto, presentare un breve sommario dei risultati ottenuti, che ci permettono di dare un’interpretazione dinamica alle variabili cinematiche introdotte nel Capitolo 4.

Per una particella di massa m e velocità v, il quadrivettore impulso pμ

– che coincide con l’impulso canonico se la particella è libera – è definito in funzione della velocità come nell’Eq. (4.43), pμ = muμ = (mγv, mγc) .

(6.33)

Ricordando la definizione dell’impulso relativistico p, Eq. (6.16), e dell’energia cinetica relativistica E, Eq. (6.19), possiamo anche esprimere il quadri-impulso come segue:

E

pμ =

p,

.

(6.34)

c

La normalizzazione del suo modulo quadro,

E2

pμpμ = m2uμuμ = −m2c2 = |p|2 −

,

(6.35)

c2

fornisce allora la famosa relazione relativistica tra impulso, massa ed energia: E = |p|2 c2 + m2c4.

(6.36)

Per una particella libera questa equazione esprime anche l’Hamiltoniana H

in funzione dell’impulso (si veda l’Eq. (6.18)), e nel limite non-relativistico v

c (ossia |p|

mc) si può sviluppare in serie come segue:

1/2

E

p2

= H = mc2

1 + m2c2

p2

p2

= mc2

1 +

+ · · · = mc2 +

+ · · · .

(6.37)

2m2c2

2m

94

6 Dinamica relativistica

Al primo ordine in v2/c2 ritroviamo dunque l’Hamiltoniana non-relativistica (6.9), senza il potenziale ma con l’aggiunta del termine mc2 che rappresenta l’energia di riposo.

Le definizioni precedenti ci permettono di ottenere anche un’utile relazione tra velocità, energia ed impulso. Combinando la definizione di p e di E

abbiamo:

E

p = mγv ≡ mγc2 v =

v.

(6.38)

c2

c2

Per una particella libera tale relazione si può anche ottenere dall’equazione di Hamilton per la velocità: usando l’Hamiltoniana (6.

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